积分sinxcosx/:使用换元法，令u=sinx+cosx，那么du=dx，从而dx=du/。当sinx≠cosx时，我们有：∫dx=∫du使用代数法，将右侧的u/拆分为+，其中a和b为待确定的常数。通过比较系数，可以得到a+b=0和a-b=1。解这个方程组可得A=-1和B=2。因此，∫dx=∫[-1/u]du+∫[2/(u-1)]du=-ln|u|+2ln|u-1|+C将u=sinx+cosx代回，得到：∫dx=-ln|sinx+cosx|+2ln|sinx+cosx-1|+C
积分sinxcosx/(sinx+cosx):
使用换元法，令u = sinx + cosx，那么du = (cosx - sinx)dx，从而dx = du/(cosx - sinx)。
当sinx ≠ cosx时，我们有：
∫(sinxcosx/(sinx+cosx))dx = ∫(u/(2u - 1))du
使用代数法，将右侧的u/(2u - 1)拆分为(a/(2u - 1)) + (b/(u - 1))，其中a和b为待确定的常数。
通过比较系数，可以得到a + b = 0 和 a - b = 1。解这个方程组可得a = 1/2 和 b = -1/2。
因此，
∫(sinxcosx/(sinx+cosx))dx = ∫[(1/2)/(2u - 1)]du + ∫[(-1/2)/(u - 1)]du
= (1/2)ln|2u - 1| - (1/2)ln|u - 1| + C
将u = sinx + cosx代回，得到：
∫(sinxcosx/(sinx+cosx))dx = (1/2)ln|2sinx + 2cosx - 1| - (1/2)ln|sinx + cosx - 1| + C
对于积分sinx^2cosx/(sinx+cosx)：
同样使用换元法，令u = sinx + cosx，那么du = (cosx - sinx)dx，从而dx = du/(cosx - sinx)。
当sinx ≠ cosx时，我们有：
∫(sinx^2cosx/(sinx+cosx))dx = ∫[(u^2 - 2u + 1)/2u]du
将u^2 - 2u + 1拆分为[(u - 1)^2]，得到：
∫(sinx^2cosx/(sinx+cosx))dx = ∫[(u - 1)^2/2u]du
使用部分分数分解，将右侧的(u - 1)^2/2u拆分为(A/u) + (B/(u - 1))，其中A和B为待确定的常数。
通过比较系数，可以得到A + B = 1 和 -A = 1。解这个方程组可得A = -1 和 B = 2。
因此，
∫(sinx^2cosx/(sinx+cosx))dx = ∫[-1/u]du + ∫[2/(u - 1)]du
= -ln|u| + 2ln|u - 1| + C
将u = sinx + cosx代回，得到：
∫(sinx^2cosx/(sinx+cosx))dx = -ln|sinx + cosx| + 2ln|sinx + cosx - 1| + C